ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (AP หรือ AP)
ให้เราระลึกถึงสูตรและคุณสมบัติบางอย่างที่ศึกษาก่อนหน้านี้
ลำดับก1,ก2,ก3, …,กนเรียกว่า ลำดับเลขคณิต หรือ ความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าก(น+1)=กน+ง,น∈N ที่ไหนก1เรียกว่าเทอมแรกและเทอมคงที่งเรียกว่าเป็นความต่างของ A.P.
ให้เราพิจารณา A.P. (ในรูปแบบมาตรฐาน) ด้วยเทอมแรกกและความแตกต่างทั่วไปง, เช่น.,ก,ก+ง,ก+2ง, ….
จากนั้นนระยะที่ (ระยะทั่วไป) ของ A.P. คือกน=ก+(น-1)ง.
เราสามารถตรวจสอบคุณสมบัติง่ายๆ ของ A.P. ได้ดังต่อไปนี้:
(i) ถ้าเพิ่มค่าคงที่ในแต่ละเทอมของ A.P. ลำดับที่ได้จะเป็น A.P.
(ii) ถ้าค่าคงที่ถูกลบออกจากแต่ละเทอมของ A.P. ลำดับที่ได้จะเป็น A.P.
(iii) ถ้าแต่ละเทอมของ A.P. คูณด้วยค่าคงที่ ลำดับที่ได้จะเป็น A.P.
(iv) ถ้าแต่ละพจน์ของ A.P. ถูกหารด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ลำดับที่ได้จะเป็น A.P.
ที่นี่ เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต:
ก= เทอมแรกℓ= เทอมสุดท้าย,ง= ความแตกต่างทั่วไปน= จำนวนเทอมสน= ผลรวมของนเงื่อนไขของ A.P.
อนุญาตก,ก+ง,ก+2ง,ก+(น-1)งเป็น AP แล้วℓ=ก+(น-1)ง
เรายังสามารถเขียนสน= ½น(ก+ℓ)
สูตรหาผลรวมเป็นนข้อกำหนดของ AP
อนุญาต
เราเขียนนิพจน์ในลำดับที่กลับกัน
การเพิ่ม (1) และ (2) ในแนวตั้ง เราได้
⇒สน= ½น[2ก+(น-1)ง]
รูปแบบทางเลือกสำหรับสูตรผลรวม
⇒สน= ½น[ก+ℓ]
ที่ไหนℓ=ก+(น-1)งเป็นระยะสุดท้ายของ AP
(พิสูจน์ ๑). เงื่อนไขแรกและสุดท้ายของ AP คือกและℓตามลำดับ แสดงว่าผลรวมของนเทอมที่ 1 จากจุดเริ่มต้นและนเทอมที่สิ้นสุดคือ (ก+ℓ).
สารละลาย:
ใน AP ที่กำหนด เทอมแรก =กและเทอมสุดท้าย =ℓ.
ให้ความแตกต่างทั่วไปเป็นง.
แล้ว,นเทอมที่จากจุดเริ่มต้นถูกกำหนดโดย
ในทำนองเดียวกันนระยะที่จากจุดสิ้นสุดถูกกำหนดโดย
การเพิ่ม (1) และ (2) เราจะได้
=ก+(น-1)ง+ℓ-(น-1)ง
=ก+ℓ
ดังนั้นผลรวมของนเทอมที่ 1 จากจุดเริ่มต้นและนวาระที่สิ้นสุด (ก+ℓ).
(พิสูจน์ 2). ถ้าหน้าระยะที่ 1 ของ AP คือถามและมันถามเทอมที่คือหน้าแสดงว่ามัน (หน้า+ถาม) เทอมที่ 0
สารละลาย:
ใน AP ที่กำหนด ให้พจน์แรกเป็นกและความแตกต่างทั่วไปจะเป็นง.
แล้ว,กน=ก+(น-1)ง
กถาม=ก+(ถาม-1)ง=หน้า… (ii)
ในการลบ (i) จาก (ii) เราจะได้
ง=-1
วางง=-1 ใน (i) เราได้
ดังนั้น,ก=(p + คิว-1) และง=-1 ตอนนี้ก(p + คิว)=ก+(p + คิว-1)ง
=(p+q-1)-(p + คิว-1)=0
ดังนั้น (p + คิว) พจน์ที่ 0 คือ 0 (ศูนย์)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิตแต่ละชุดต่อไปนี้
(ฌ) 7+10½+14+⋯ +84
(ii) 34+32+30+⋯ +10
(iii) (-5)+(-8)+(-11)+⋯ +(-230)
สารละลาย:
(i) อนุกรมเลขคณิตที่กำหนดให้คือ 7+10½+14+⋯ +84
ที่นี่,ก=7,ง=10½-7=3½ และℓ=84.
ให้ชุดที่กำหนดประกอบด้วยนข้อกำหนด แล้ว,กน=84.
7+(น-1)∙3½=84 … (×2)
14+(น-1)∙7=168
น-1=(168-14)÷7
น-1=22
น=23
สน= ½น[ก+ℓ]
∴ ผลรวมที่ต้องการส23=½∙23∙(7+84)
=½∙2030
=1046½
(ii) อนุกรมเลขคณิตที่กำหนดคือ 34+32+30+⋯ +10
ที่นี่,ก=34,ง=32-34=-2 และℓ=10.
ให้ชุดที่กำหนดประกอบด้วยนข้อกำหนด แล้ว,กน=10.
34+(น-1)⋅(-2)=10
-2น+36=10
-2น=10-36=-26
น=13.
สน= ½น[ก+ℓ]
∴ ผลรวมที่ต้องการส13=½∙13∙(34+10)
=½∙286
(iii) อนุกรมเลขคณิตที่กำหนดคือ (-5)+(-8)+(-11)+⋯ +(-230)
ที่นี่,ก=-5,ง=-8-(-5)=-8+5=-3 และℓ=230.
ให้ชุดที่กำหนดประกอบด้วยนข้อกำหนด แล้ว,กน=-230.
-5+(น-1)⋅(-3)=-230
-3น-2=-230
-3น=-230+2=-228
น=76
สน= ½น[ก+ℓ]
∴ ผลรวมที่ต้องการส76=½∙76∙(-5-230)
=-8930
หาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตแต่ละชุด Ex2 ถึง Ex11
อดีต2. 4+8+12+…+200
สารละลาย:
12-8=4
ความแตกต่างทั่วไปคือ 4
กน=ก1+(น-1)ง
200=4+(น-1)4
4น=200
น=50
หาผลรวมของอนุกรม
ส50=½⋅50⋅(4+200)
=5100
คำตอบ:
5100
อดีต3. -18+(-15)+(-12)+…+66
สารละลาย:
-12-(-15)=3
ความแตกต่างทั่วไปคือ 3
หาค่าของน.
66=-18+(น-1)3
3น=87
น=29
หาผลรวม.
ส29=½⋅29⋅(-18+66)
=696
คำตอบ: 696
อดีต4. -24+(-18)+(-12)+...+72
สารละลาย:
-12-(-18)=6
ความแตกต่างทั่วไปคือ 6
หาค่าของน.
72=-24+(น-1)6
6น=102
น=17
หาผลรวม.
ส17=½⋅17⋅(-24+72)
=408
คำตอบ: 408
อดีต5.ก1=12,กน=188,ง=4
สารละลาย:
188=12+(น-1)4
4น=180
น=45
หาผลรวมของอนุกรม
ส45=½⋅45⋅(12+188)
=4500
คำตอบ:
4500
อดีต6.กน=145,ง=5,น=21
สารละลาย:
145=ก1+(21-1)5
ก1=45
หาผลรวมของอนุกรม
ส21=½⋅21⋅(45+145)
=1995
คำตอบ:
2538
อดีต7. จำนวนธรรมชาติ 50 ตัวแรก
สารละลาย:
=½⋅50⋅51
=1275
คำตอบ: 1275
อดีต8. จำนวนธรรมชาติคี่ 100 ตัวแรก
วิธีแก้ปัญหา: ที่นี่ก1=1,ก100=199 และน=100
หาผลรวม.
ส100=½⋅100⋅(1+199)
=10,000
ตอบ: 10,000
อดีต9. จำนวนธรรมชาติคี่ 200 ตัวแรก
สารละลาย:
ที่นี่ก1=1 และก200=399.
หาผลรวม.
ส200=½⋅200⋅(1+399)
=40,000
ตอบ 40,000
อดีต10. เลขธรรมชาติ 100 ตัวแรก
วิธีแก้ปัญหา: ที่นี่ก1=2 และก100=200.
หาผลรวม.
ส100=½⋅100⋅(2+200)
=10,100
ตอบ: 10,100
อดีต11. จำนวนธรรมชาติ 300 ตัวแรก
สารละลาย:
ที่นี่ก1=2,ก300=300 และน=300.
หาผลรวม.
ส300=½⋅300⋅(2+600)
=90,300
ตอบ: 90,300
อดีต12. กำหนดผลรวมของอนุกรม: 19+22+25+…+121
สารละลาย:
กน=3น+16=121=ℓ
3น=105
น=35
สน= ½น(ก+ℓ)
ส35=½⋅35⋅(19+121)=35⋅½⋅140=35⋅70=2450
อดีต13. หาผลบวกของอนุกรม 1+3.5+6+8.5+…+101
สารละลาย:
นี่คืออนุกรมเลขคณิต เนื่องจากผลต่างระหว่างพจน์เป็นค่าคงที่ 2.5 เรารู้ด้วยว่าเทอมแรกคือ 1 และเทอมสุดท้ายคือ 101 แต่เราไม่รู้ว่ามีกี่เทอมในอนุกรม ดังนั้น เราจะต้องใช้สูตรสำหรับพจน์สุดท้ายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
เพื่อให้เราได้ 101=1+(น-1)×2.5.
นี่เป็นเพียงสมการสำหรับน, จำนวนพจน์ในอนุกรม แล้วเราแก้ได้ ถ้าเราลบ 1 จากแต่ละด้านเราจะได้
แล้วหารทั้งสองข้างด้วย 2.5 จะได้
ดังนั้นน=41. ตอนนี้เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในเวอร์ชันที่ใช้ℓเพื่อให้เรา
ส41=½×41×(1+101)
= ½×41×102
=41×51
2091
อดีต14. หาผลรวมของ -6+1+8+15+…+141
สารละลาย:
อนุกรมเลขคณิตกับยู1=-6,ง=7 และยูน=141. ก่อนอื่นเราต้องหาน.
-6+7(น-1)=141
7(น-1)=147
น-1=21
น=22
โดยใช้สน= ½น(ยู1+ยูน)
=11⋅135=1485
อดีต15. ค้นหาจำนวนพจน์ของ AP -12, -9, -6, …, 21
หากเพิ่ม 1 ในแต่ละเทอมของ AP นี้ ผลรวมของเงื่อนไขทั้งหมดของ AP จะได้รับ
สารละลาย:
AP ที่กำหนดคือ -12, -9, -6, …, 21
ที่นี่,ก=-12,ง=-9-(-12)=-9+12=3 และℓ=21.
สมมติว่ามีนข้อกำหนดใน AP
[กน=ก+(น-1)ง]
-12+(น-1)⋅3=21
3น-15=21
3น=21+15=36
น=12.
ดังนั้นจึงมี 12 คำศัพท์ใน AP
หากเพิ่ม 1 ในแต่ละเทอมของ AP ดังนั้น AP ใหม่ที่ได้รับคือ -11, -8, -5, …, 22
ที่นี่เทอมแรกก=-11, เทอมสุดท้าย,ℓ=22 และน=12.
รับผลรวมของ terns ของ AP นี้
∴ส12=½⋅12⋅(-11+22)
=6⋅11=66
ดังนั้น ผลรวมที่ต้องการคือ 66
อดีต16. ผลรวมของจำนวนคี่ 20 ตัวแรกคือ
(ก) 100 (ข) 210 (ค) 400 (ง) 420
สารละลาย:
จำนวนธรรมชาติคี่ 20 ตัวแรก ได้แก่ 1, 3, 5, …, 39
ตัวเลขเหล่านี้อยู่ใน AP
ที่นี่ก=1,ℓ=39 และน=20.
∴ ผลรวมของจำนวนทูรัลคี่ 20 ตัวแรก
ส20=½⋅20⋅(1+19)
=10⋅40
=400.
คำตอบ: (ค) 400
อดีต17. หาผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดระหว่าง 0 ถึง 50
สารละลาย:
จำนวนคี่ทั้งหมดระหว่าง 0 ถึง 50 คือ 1, 3, 5, 7, …, 49
นี่คือ AP ที่ก=1,ง=(3-1)=2 และℓ=49.
ให้จำนวนเทอมเป็นน.
แล้ว,กน=49
1+(น-1)⋅2=49
2น=50
น=25
∴ ผลรวมที่ต้องการ =½น(ก+ℓ)
=25⋅½⋅50
=25⋅25=625
ดังนั้น ผลรวมที่ต้องการคือ 625
ตัวอย่าง 18: การหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต
หาผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดระหว่าง 51 ถึง 99
สารละลาย:
ขั้นแรกให้ใช้ก1=51,กน= 99 เพื่อค้นหาน:
99=51+(น-1)2
น=25
ตอนนี้หาส25.
ส25=½⋅25⋅(51+99)
=1,875
อดีต19. หาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดระหว่าง 100 ถึง 1,000 ซึ่งหารด้วย 9 ลงตัว
วิธีแก้ไข: จำนวนเต็มตัวแรกที่มากกว่า 100 และหารด้วย 9 ลงตัวคือ 108 และจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 1,000 และหารด้วย 9 ลงตัวคือ 999 ดังนั้น เราต้องหาผลรวมของอนุกรม
ที่นี่ที=ก=108,ง=9 และℓ=999
อนุญาตนเป็นจำนวนพจน์ทั้งหมดในอนุกรม beน. แล้ว
111=12+(น-1)
น=100
ดังนั้นจำนวนเงินที่ต้องการ
= ½⋅100⋅(108+999)
=50(1107)=55350.
ให้อ่านโพสต์ตัวเลขที่หารด้วยหรือคูณด้วยจำนวนเต็มในลำดับเลขคณิต
คำถาม 1. (5+13+21+…+181)=?
(ก) 2476 (ข) 2337 (ค) 2219 (ง) 2139
สารละลาย:
ที่นี่,ก=5,ง=(13-5)=8 และℓ=181.
ให้จำนวนเทอมเป็นน. แล้วกน=181
5+(น-1)⋅8=181
8น=184
น=23
∴ ผลรวมที่ต้องการ =½น(ก+ℓ)
ดังนั้นผลรวมที่ต้องการคือ 2139
คำตอบ: (ง) 2139
ไตรมาสที่ 2 โรงละครท้องถิ่นมี 30 ที่นั่งในแถวแรกและ 50 แถวทั้งหมด แต่ละแถวที่ต่อเนื่องมีที่นั่งเพิ่มเติมสองที่นั่ง โรงละครมีกี่ที่นั่ง?
สารละลาย:
อยากทราบว่าแถวที่ 50 มีกี่ที่นั่งค่ะ ฉันจะหาสูตรสำหรับการเริ่มต้น
ก1=2(1)+x
30=2+x
28=x
สูตรสำหรับลำดับ:กน=2น+28.
การคำนวณจำนวนที่นั่งในแถวที่ 50:ก50=2(50)+28=128.
ฉันต้องเพิ่มตัวเลขเหล่านี้เพื่อให้ได้คำตอบ: 30+32+34+…..+128
ฉันจะใช้สูตรสน=½(ก1+กน)
ตอบ: มี 3950 ที่นั่ง
ไตรมาสที่ 3 อัฒจันทร์กลางแจ้งมี 40 ที่นั่งในแถวแรก 41 ที่นั่งในแถวที่สอง 42 ที่นั่งในแถวที่สาม รูปแบบยังคงดำเนินต่อไป อัฒจันทร์มี 70 แถว
อัฒจันทร์บรรจุที่นั่งได้กี่ที่นั่ง?
สารละลาย:
อยากทราบว่าแถวที่ 70 มีกี่ที่นั่งค่ะ ฉันจะหาสูตรสำหรับการเริ่มต้น
ก1=1(1)+x
40=1+x
39=x
สูตรสำหรับลำดับ:กน=น+39.
การคำนวณจำนวนที่นั่งในแถวที่ 70:ก70=70+39=109.
ฉันต้องเพิ่มตัวเลขเหล่านี้เพื่อให้ได้คำตอบ: 40+41+42+…..+109
ฉันจะใช้สูตรสน=½(ก1+กน).
ตอบ มี 5215 ที่นั่ง
ไตรมาสที่ 4 เงื่อนไขแรกและสุดท้ายของ AP คือ 17 และ 350 ตามลำดับ ถ้าผลต่างร่วมคือ 9 จะมีพจน์กี่พจน์และผลรวมเป็นเท่าใด
สารละลาย:
สมมติว่ามีนข้อกำหนดใน AP
ที่นี่,ก=17,ง=9 และℓ=350.
[กน=ก+(น-1)ง]
17+(น-1)⋅9=350
9น+8=350
9น=350-8=342
น=38.
ดังนั้นจึงมี 38 พจน์ใน P
ส38=½⋅38⋅(17+350)
=19⋅367
=6973
ดังนั้น ผลรวมที่ต้องการคือ 6973
Q5. (การแข่งขัน) รางวัลในการแข่งขันรายการวิทยุรายสัปดาห์เริ่มต้นที่ $150 และเพิ่มขึ้น $50 ในแต่ละสัปดาห์ที่การแข่งขันดำเนินไป หากการแข่งขันดำเนินไปเป็นเวลาสิบเอ็ดสัปดาห์ จะได้รับรางวัลทั้งหมดเท่าไร?
สารละลาย:
ที่ให้ไว้,ก1=150,ง=50 และน=11.
หาค่าของก11.
ก11=ก1+(11-1)ง
=150+10⋅50
=650
หาผลรวม.
=11⋅½⋅(150+650)
=4400
รางวัลเงินสดรวม $4400 สำหรับการแข่งขันสิบเอ็ดสัปดาห์
คำตอบ: 4400 ดอลลาร์
คำถามที่ 6 (ละคร) ลอร่ามีผลงานละครในอีก 12 วัน เธอวางแผนที่จะฝึกฝนบทของเธอทุกคืน ในคืนแรกเธอซ้อมบทของเธอ 2 ครั้ง คืนต่อมาเธอซ้อมบทของเธอ 4 ครั้ง คืนที่สามเธอซ้อมบทของเธอ 6 ครั้ง คืนที่สิบเอ็ดเธอซ้อมบทกี่ครั้ง
สารละลาย:
ลำดับเลขคณิตที่แสดงถึงสถานการณ์คือ 2, 4, 6, ….
แทนที่ 2 สำหรับก1, 2 สำหรับงและ 11 สำหรับนในสูตรสำหรับนเทอมที่แล้วหาก11.
ก11=2+(11-1)2
=2+20
=22
แทนที่ 2 สำหรับก1, 22 สำหรับกน, 11 สำหรับนในสูตรผลรวม
=11⋅½⋅(2+22)
=11⋅12
=132
คำตอบ: 132
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลำดับคืออะไร?
รับข้อกำหนดจากลำดับ
การเขียนข้อกำหนดสองสามข้อแรกของแต่ละลำดับ (การเขียนลำดับ)
กำหนดว่าแต่ละลำดับเป็นเลขคณิต เรขาคณิต หรือไม่ใช่เลย
ข้อกำหนดทั่วไปของลำดับฟีโบนัชชี
การแปลจากกฎแบบเรียกซ้ำเป็นกฎที่ชัดเจน (ข้อกำหนดทั่วไป)
จะอธิบายลำดับเลขคณิตได้อย่างไร
รับความแตกต่างทั่วไปของแต่ละลำดับเลขคณิต