สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: ความหมายและตัวอย่าง (2023)

สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:ความก้าวหน้าทางเลขคณิต (AP) เป็นลำดับที่ความแตกต่างระหว่างแต่ละคำที่ต่อเนื่องกันเหมือนกัน เป็นไปได้ที่จะได้รับสูตรสำหรับเทอมที่ n ของ AP จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 10, 14,... เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต (AP) เนื่องจากเป็นไปตามรูปแบบที่แต่ละหมายเลขได้มาจากการบวก 4 เข้ากับพจน์ก่อนหน้า ในลำดับนี้ เทอมที่ n เท่ากับ 4n-2 เงื่อนไขของลำดับสามารถพบได้โดยการแทนที่ n=1,2,3,... ในพจน์ที่ n

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาแนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและสูตรสำหรับการคำนวณพจน์ที่ n ผลต่างร่วม และผลรวมของพจน์ที่ n ของ AP เราจะแก้ปัญหาตัวอย่างต่างๆ ตามสูตรความก้าวหน้าทางเลขคณิตเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตถูกกำหนดให้เป็นลำดับของตัวเลข สำหรับคู่ของพจน์ที่ต่อเนื่องกันทุกคู่ เราจะได้ตัวเลขที่สองโดยการเพิ่มค่าคงที่ให้กับตัวแรก ค่าคงที่ที่ต้องเพิ่มให้กับพจน์ใดๆ ของ AP เพื่อให้ได้พจน์ถัดไปเรียกว่า ผลต่างร่วม (C.F) ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักแสดงเป็น AP ใน AP มีคำศัพท์หลัก 3 คำที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์:

• (i) ความแตกต่างทั่วไป (ง)
• (ii) เทอมที่ n (ก_น)
• (iii) ผลรวมของพจน์ n แรก (S_น)

คำศัพท์ทั้งสามนี้กำหนดคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราสามารถเข้าใจแนวคิดความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้จากตัวอย่าง

AP นี้มีเทอมแรก a = 2 ผลต่างร่วม d = 4 และเทอมสุดท้าย l = 50

AP นี้มีเทอมแรก a = 5 ผลต่างร่วม d = 5 และเทอมสุดท้าย l = 60

รับสูตรพีชคณิตด้านล่าง:

สูตรที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สูตรสำคัญที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตสำหรับคลาส 10 และ 12 มีดังนี้:

• (i) ลำดับ
• (ii) ความแตกต่างทั่วไป
• (iii) เทอมที่ n ของ AP (เทอมสุดท้ายของสูตร AP)
• (iv) เทอมที่ n จากเทอมที่แล้ว
• (v) ผลรวมของพจน์ n แรก

เรามาดูรายละเอียดสูตรทั้งหมดกัน

สูตรสำหรับ AP

ลำดับเลขคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุดแสดงด้วยสูตรต่อไปนี้:

โดยที่ a แทนพจน์แรกและ d คือความแตกต่างทั่วไป

• (i) ถ้าค่าของ “d” คือเชิงบวกจากนั้นเงื่อนไขการเป็นสมาชิกจะเติบโตขึ้นอินฟินิตี้บวก.
• (ii) ถ้าค่าของ “d” คือเชิงลบจากนั้นเงื่อนไขการเป็นสมาชิกจะเพิ่มขึ้นอินฟินิตี้เชิงลบ.

สูตรคำนวณผลต่างร่วม

ความแตกต่างทั่วไปคือค่าคงที่คงที่ซึ่งค่ายังคงเหมือนเดิมตลอดทั้งลำดับ เป็นความแตกต่างระหว่างสองวาระติดต่อกันของ AP สูตรสำหรับความแตกต่างทั่วไปของ AP คือ:

ที่นี่ ก_นและ ก_n+1เป็นสองวาระติดต่อกันของ AP

เทอมที่ n ของสูตร AP

สูตรการหาเทอมที่ n ของ AP คือ:

ที่นี่,

ก= เทอมแรก
ง= ความแตกต่างทั่วไป
น= จำนวนเทอม
ก_น= เทอมที่ n

มาทำความเข้าใจกับสูตรนี้ด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่าง:ค้นหาเทอมที่ n ของ AP:
5, 8, 11, 14, 17, …, ก_นถ้าจำนวนพจน์คือ 12

สารละลาย:
AP: 5, 8, 11, 14, 17, …, ก_น(ที่ให้ไว้)
n = 12
ตามสูตรที่เรารู้ก_น= ก + (น – 1)ง
เทอมแรก a = 5
ผลต่างร่วม d = (8 – 5)= 3
ดังนั้น ก_น= 5 + (12 – 1)3
= 5 + 33
= 38

ผลรวมของ n เงื่อนไขของสูตร AP

สำหรับ AP สามารถคำนวณผลรวมของ n เทอมแรกได้หากทราบเทอมแรกและจำนวนเทอมทั้งหมด สูตรสำหรับผลรวมของ AP คือ:

(Video) คณิตศาสตร์ มหัศจรรย์แห่งตัวเลข

ที่นี่,

ส= ผลรวมของ n เงื่อนไขของ AP

น= จำนวนเทอมทั้งหมด

ก= เทอมแรก

ง= ความแตกต่างทั่วไป

สูตรผลรวมความก้าวหน้าทางเลขคณิตเมื่อกำหนดเงื่อนไขแรกและสุดท้าย:

เมื่อเราทราบพจน์แรกและพจน์สุดท้ายของ AP เราสามารถคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยใช้สูตรนี้:

ที่มา:

พิจารณา AP ที่ประกอบด้วยคำศัพท์ “n” ซึ่งมีลำดับ a, a + d, a + 2d, … , a + (n – 1) × d
ผลรวมของ n พจน์แรก =ก + (ก + ง) + (ก + 2d) + ………. + [a + (n – 1) × d] —— (i)
การเขียนเงื่อนไขในลำดับที่กลับกัน เราได้รับ:
S = [a + (n – 1) × d] + [a + (n – 2) × d] + [a + (n – 3) × d] + (a) —— (ii)

เมื่อเพิ่มสมการทั้ง 2 เทอม เรามี:

2S = [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + … + [2a + (n – 1) ×d ] (คำนาม)
2S = n × [2a + (n – 1) × d]
S = n/2[2a + (n − 1) × d]

มาทำความเข้าใจกับสูตรนี้พร้อมตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1:ค้นหาผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตต่อไปนี้:
9, 15, 21, 27, … จำนวนพจน์ทั้งหมดคือ 14
สารละลาย:
AP = 9, 15, 21, 27, …
เรามี: a = 9,
d = (15 – 9) = 6,
และ n = 14
จากสูตรผลรวม AP เรารู้ว่า:
S = n/2[2a + (n − 1) × d]
= 14/2[2 x 9 + (14 – 1) x 6]
= 14/2[18 + 78]
= 14/2 [96]
= 7 x 96
= 672
ดังนั้นผลรวมของ AP คือ 672

ตัวอย่างที่ 2:ค้นหาผลรวมของ AP ต่อไปนี้: 15, 19, 23, 27, … , 75

สารละลาย:AP: 15, 19, 23, 27, … , 75
เรามี: a = 15,
d = (19 – 15) = 4,
และ ล = 75
เราต้องหา n ดังนั้นโดยใช้สูตร: l = a + (n – 1)d เราได้
75 = 15 + (n – 1) x 4
60 = (n – 1) x 4
n – 1 = 15
n = 16
เทอมแรกและเทอมสุดท้ายจะได้รับ ดังนั้นจากสูตรผลรวม AP เราจึงรู้ว่า:
S = n/2[เทอมแรก + เทอมสุดท้าย]
แทนค่าเราจะได้:
S = 16/2 [15 + 75]
= 8 x 90
= 720
ดังนั้นผลรวมของ AP คือ 720

เทอมที่ n จากสูตรเทอมสุดท้าย

เมื่อเราต้องการหาเทอมที่ n ของ AP ไม่ใช่จากจุดเริ่มต้น แต่จากเทอมสุดท้าย เราใช้สูตรต่อไปนี้:

(Video) 3 ระดับความก้าวหน้าของอารยธรรม โดย คาร์ดาเชฟ​ (Kardashev scale)​

ที่นี่,

ก_น= เทอมที่ n จากครั้งล่าสุด

ล= ระยะสุดท้าย

น= จำนวนเทอมทั้งหมด

ง= ความแตกต่างทั่วไป

รายการสูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ที่นี่เราได้จัดเตรียมสูตรเลขคณิตไว้ในตารางด้านล่างเพื่อความสะดวกของคุณ อ้างอิงถึงสูตรเหล่านี้ที่นี่ หรือคุณสามารถดาวน์โหลดเป็น PDF ก็ได้

ดาวน์โหลด –สูตรความก้าวหน้าเลขคณิต PDF

ตัวอย่างที่แก้ไขแล้วในสูตรที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาดูตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตพร้อมคำตอบ:

คำถามที่ 1:เทอมแรกของลำดับเลขคณิตคือ 4 และเทอมที่สิบคือ 67 อะไรคือความแตกต่างทั่วไป?

สารละลาย:ให้เทอมแรกเป็น a และผลต่างร่วม d
ใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n:x_น= a + d(n − 1)
เทอมแรก = 4
⇒a = 4——- (1)
เทอมที่สิบ = 67
⇒x₁₀= a + d(10 − 1)
= 67
⇒a + 9d = 67——- (2)
แทน a = 4 จาก (1) เป็น (2)
⇒4 + 9d = 67
⇒9d = 63
⇒d = 63 ÷ 9
= 7
ความแตกต่างทั่วไปคือ7.

คำถามที่ 2:เทอมที่สามสิบสองของลำดับเลขคณิต -12, -7, -2, 3, … คืออะไร?

สารละลาย:ลำดับนี้มีความแตกต่าง 5 ระหว่างตัวเลขแต่ละคู่
ค่าของ a และ d คือ:
a = -12 (เทอมแรก)
d = 5 (“ผลต่างร่วม”)
สามารถคำนวณกฎ:
x_น= a + d(n − 1)
= -12 + 5(n − 1)
= -12 + 5n − 5
= 5n − 17
ดังนั้น เทอมที่ 32 คือ:
x₃₂= 5 × 32 - 17
= 160 - 17
= 143

คำถามที่ 3:เทอมที่ยี่สิบของลำดับเลขคณิต 21, 18, 15, 12, … คืออะไร?

สารละลาย:ลำดับนี้ลดหลั่นกันไป จึงมีผลต่าง -3 ระหว่างตัวเลขแต่ละคู่
ค่าของ a และ d คือ:
a = 21 (เทอมแรก)
d = -3 (“ผลต่างร่วม”)
สามารถคำนวณกฎ:
x_น= ก + ง(n-1)
= 21 + -3(n-1)
= 21 – 3n + 3
= 24 – 3น
ดังนั้น เทอมที่ 20 คือ:
x₂₀= 24 – 3 × 20
= 24 – 60
= -36

คำถามที่ 4:ผลรวมของสามสิบพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือเท่าใด: 50, 45, 40, 35, … ?

สารละลาย:50, 45, 40, 35, …
ค่าของ a, d และ n คือ:
a = 50 (เทอมแรก)
d = -5 (ผลต่างร่วม)
n = 30 (ต้องบวกกันกี่เทอม)

ใช้ผลรวมของสูตร AP – S_น= n/2(2a + (n – 1)d) เราได้:
ส₃₀= 30/2(2 × 50 + 29 × -5))
=15(100 – 145)
= 15 × -45
= -675

คำถามที่ 5:ผลบวกของพจน์ที่สิบเอ็ดถึงยี่สิบ (รวม) ของลำดับเลขคณิตคือเท่าใด: 7, 12, 17, 22, …?

วิธีแก้ไข: กำหนด AP: 7, 12, 17, 22, …
ค่าของ a และ d:
a = 7 (เทอมแรก)
d = 5 (ผลต่างร่วม)
ในการหาผลบวกของพจน์ที่ 11 ถึง 20 ให้ลบผลรวมของ 10 พจน์แรกออกจากผลรวมของ 20 พจน์แรก

ดังนั้นผลรวมของเทอมที่สิบเอ็ดถึงยี่สิบ= 1,090 – 295
= 795

อื่นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ:

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ต่อไปนี้เป็นคำถามเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตเพื่อให้คุณฝึกฝน

นอกจากนี้ ตรวจสอบ

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำถาม 1: ผลรวมของจำนวนธรรมชาติ n ตัวแรกมีค่าเท่าใด
ตอบ:ด้วยความช่วยเหลือของสูตรผลรวม AP เราสามารถคำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติ n ตัวแรกได้
S = n(n + 1)/2

Q.2: ผลรวมของเลขคู่ n ตัวแรกเป็นเท่าใด
ตอบ:ให้ผลรวมของเลขคู่ n ตัวแรกคือ Sn
Sn = 2+4+6+8+10+……………………..+(2n)
การแก้สมการโดยใช้สูตรผลรวม AP เราได้รับ:
ผลรวมของเลขคู่ n ตัว = n(n + 1)

Q.3: มีกี่สูตรในการก้าวหน้าเลขคณิตรุ่นที่ 10?
ตอบ:มีสองสูตรที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นหลัก:
(i) เทอมที่ n ของ AP
(ii) ผลรวมของ n เงื่อนไขของ AP

Q.4: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?
ตอบ:ความก้าวหน้าทางเลขคณิตถูกกำหนดให้เป็นลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละหมายเลขแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้าด้วยปริมาณคงที่ (เรียกว่าผลต่างร่วม)

คำถามที่ 5: สูตรความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?
ตอบ:ลำดับเลขคณิตกำหนดโดย a, a + d, a + 2d, a + 3d, … . ดังนั้น สูตรในการหาพจน์ที่ n คือ:
และ = a + (n – 1) × d
ผลรวมของ n เทอมของ AP = n/2[2a + (n − 1) × d]

Q.6: d ในสูตร AP คืออะไร?
ตอบ:d คือความแตกต่างทั่วไป ลำดับเลขคณิตคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกได้มาจากการบวกค่าคงที่ d ต่อพจน์ก่อนหน้า